Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

   En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se interceptan los dos ejes coordenados

   El punto central del gráfico (también conocido como "origen" en una cuadrícula rectangular) se conoce como el polo y puede etiquetarse usando la letra O. 

Gráficas de Ecuaciones en Coordenadas Polares 

   Dibuja una línea horizontal hacia la derecha empezando desde el polo. Esta línea constituirá el eje polar. Etiquetarla usando unidades de la misma forma como lo harías con el eje x positivo de una cuadrícula rectangular.

   Si tienes papel gráfico polar, podrás observar en él muchos círculos de diferentes tamaños cuyo centro es el polo. Si vas a usar papel en blanco, no tienes que trazar estos círculos tú mismo.

   La primera variable, , representa el radio. Este punto se encuentra en un círculo cuyo radio es  y cuyo centro es el polo (el origen).

   La segunda variable, , representa un ángulo. Este punto se encuentra a lo largo de una línea que atraviesa el polo y forma un ángulo  con el eje polar.

   Los ángulos suelen medirse en radianes y no en grados sexagesimales. En este sistema, el ángulo de un giro completo (es decir, 360 grados o un círculo completo) mide 2${\displaystyle \pi }$ radianes. (Se establece este valor porque la circunferencia de un círculo con un radio de 1 mide 2${\displaystyle \pi }$).

   El polo es el punto central del gráfico en el mismo lugar en donde se encuentra el origen en un plano rectangular de coordenadas.

   Por ejemplo, si quieres trazar el punto , debes colocar el compás en el polo y extender el extremo en donde se encuentre el lápiz hasta que llegue a las 5 unidades en el eje polar. Luego, haz girar el compás para trazar el círculo.

   Coloca el transportador de forma que la parte central quede en el polo y el borde se extienda a lo largo del eje polar. Mide el ángulo ${\displaystyle \theta }$ desde este eje. En caso de que tu transportador solo mida ángulos en grados sexagesimales y el ángulo que debas medir esté en radianes, puedes ya sea convertir las unidades o consultar la circunferencia goniométrica si necesitas ayuda.

   Para el punto , según la circunferencia goniométrica,  se encuentra a un cuarto de la circunferencia del círculo, lo que equivaldría a 90 grados desde el eje polar.

   Los ángulos positivos siempre deben medirse en sentido antihorario empezando desde el eje. Los ángulos negativos deben medirse en sentido horario desde el eje.

   Se debe trazar una línea a lo largo del ángulo que hayas medido. Sin embargo, antes de empezar, es importante saber en qué dirección trazarla. Para ello, consulta las coordenadas polares ${\displaystyle (r,\theta )}$:

   Si  es positivo, traza la línea hacia adelante empezando desde el polo y atravesando la marca que hayas hecho en el ángulo.

   Si  es negativo, traza la línea hacia atrás empezando desde la marca que hayas hecho en el ángulo, regresando hacia el polo y atravesándolo hasta cruzar el círculo por el lado opuesto.

   No debes confundirte con las coordenadas rectangulares, ya que esto no corresponde a los valores positivos o negativos de un eje x o y.

Este punto es ${\displaystyle (r,\theta )}$.

   El punto  se encuentra en un círculo cuyo radio mide 5 y cuyo centro se encuentra en el polo a un cuarto de la circunferencia del círculo en sentido anti horario desde el eje polar. Este punto equivaldría a (0,5) en un plano rectangular.

Área de una región en coordenadas polares

   La curva en coordenadas polares dada por la función r :θ ∈[α,β ]→ r(θ) ∈\, donde r r = ( ) θ es una función continua. La región A r rr : , : ,0 ( ) = ≤≤ ≤≤ {( θ ) αθ β θ } cuya área queremos calcular es la que se muestra sombreada en la siguiente figura, está limitada por la curva y las semirrectas de ecuaciones θ =α y .

   

r r = ( ) θ y los rayos θ =α y . θ = β Cada subintervalo genérico 1 [ ,] θ k k − θ determina un sector circular . Sk El área de este sector circular 1 está dada por 

Autor: Yefferson Rojas C.